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设二元一次方程
\begin{equation}
ax^2+bx+c=0(a,b,c\in R,a\ne0)
\end{equation}
中，两根 \(x_1,x_2 \)
有如下关系：
$$\begin{equation}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
x_1x_2=\frac{c}{a}
\end{equation}$$
\(H_n\le G_n \le A_n \le Q_n\)被称为均值不等式，其中
\(H_n\)被称为调和平均数
$$\begin{equation}
H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_1}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}
\end{equation}$$
\(G_n\)被称为几何平均数
$$\begin{equation}
G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}
\end{equation}$$
\(A_n\)被称为算术平均数
$$\begin{equation}
A_n=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}
\end{equation}$$
\(Q_n\)被称为平方平均数
$$\begin{equation}
Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2}{n}}
\end{equation}$$
注：\(x_i \ge 0\)
特别地，当\(i=2\)时,令\(x_1=a,x_2=b (a \ge 0 ,b \ge 0)\)，有
$$\begin{equation}
\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
\end{equation}$$
在任意\(\triangle ABC\)中，角\(A、B、C\)，三角形外接圆的半径为\(R\)，直径为\(D\)。则有： $$\begin{equation} \frac{a}{\sin a}=\frac{b}{\sin b}=\frac{c}{\sin c}=2R=D \end{equation}$$
在任意\(\triangle ABC\)中，三边\(a、b、c\)所对应的三角\(A、B、C\)，有如下关系： $$\begin{cases} a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}\\ \cos{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{ac}\\ \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{ab} \end{cases}$$ $$\begin{cases} \cos{A}=\frac{\sin^2{B}+\sin^2 {C}-\sin^2 {A}}{\sin{B}\sin{C}}\\ \cos{B}=\frac{\sin^2{A}+\sin^2 {C}-\sin^2 {B}}{\sin{A}\sin{C}}\\ \cos{C}=\frac{\sin^2{A}+\sin^2 {B}-\sin^2 {C}}{\sin{A}\sin{B}} \end{cases}$$
在平面直角坐标系中，若有两点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，则\(A,B\)两点间距\(d\)满足如下等式：
$$\begin{equation}
d=\begin{vmatrix}
AB
\end{vmatrix}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
\end{equation}$$
在三维空间直角坐标系中，若有两点\(A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)\)，则\(A,B\)两点间距\(d\)满足如下等式：
$$\begin{equation}
d=\begin{vmatrix}
AB
\end{vmatrix}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}
\end{equation}$$
在平面极坐标系中，若有两点\(A(\rho_1,\theta_1),B(\rho_2,\theta_2)\)，则\(A,B\)两点间距\(d\)满足如下等式：
$$\begin{equation}
d=\begin{vmatrix}
AB
\end{vmatrix}=\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}}
\end{equation}$$
在平面直角坐标系下，两个重要推论：
推论1：设直线\(l\)的方程为\(y=kx+b\)，点\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\)为该线上任意两点，则
$$\begin{equation}
\begin{vmatrix}
P_1P_2
\end{vmatrix}=\sqrt{1+k^2}\begin{vmatrix}
x_1-x_2
\end{vmatrix}=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\begin{vmatrix}
y_1-y_2
\end{vmatrix}
\end{equation}$$
推论2：设直线\(l\)的倾斜角为\(\alpha\)，点\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)\)为该线上任意两点，则
$$\begin{equation}
\begin{vmatrix}
P_1P_2
\end{vmatrix}=\frac{\begin{vmatrix}
x_1-x_2
\end{vmatrix}}{\cos\alpha}=\frac{\begin{vmatrix}
y_1-y_2
\end{vmatrix}}{\sin\alpha}
\end{equation}$$
在平面直角坐标系中，若存在一条直线\(l\)方程为\(Ax+By+C=0\)，且存在一点\(P(x_0,y_0)\)，那么该点到已知直线的距离\(d\)为
$$\begin{equation}
d=\frac{\begin{vmatrix}
Ax_0+By_0+C
\end{vmatrix}}{\sqrt{A^2+B^2}}
\end{equation}$$
在三维空间直角坐标系中，若存在一条直线\(l\)方程为\(\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z1}{n}\)，且存在一点\(P(x_0,y_0,z_0)\)，那么有如下公式：
$$\begin{equation}
s=\frac{\begin{vmatrix}
(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\times (l,m,n)
\end{vmatrix}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
d=\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+(z_0-z_1)^2-s^2}
\end{equation}$$
在平面直角坐标系中，有如下推论：
推论1：若存在两条平行直线\(l_1，l_2\)方程分别为\(Ax+By+C_1=0，Ax+By+C_2=0\)，则\(l_1，l_2\)的间距\(d\)为
$$\begin{equation}
d=\frac{\begin{vmatrix}
C_1-C_2
\end{vmatrix}}{\sqrt{A^2+B^2}}
\end{equation}$$
推论2：若存在两条直线\(l_1，l_2\)方程分别为\(A_1x+B_1y+C_1=0，A_2x+B_2y+C_2=0\)，设这两条直线夹角为\(\theta\)，则
$$\begin{equation}
\cos\theta=\frac{\begin{vmatrix}
A_1A_2+B_1B_2
\end{vmatrix}}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2}}
\end{equation} ， \theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$